5 Задача приближения функции

Постановка задачи. Пусть на отрезке [a,b] задана функция у= f(x) своими n+1 значениями , в точках .

Допустим, что вид функции f(x) неизвестен. На практике часто встречается задача вычисления значений функции у= f(x) в точках х, отличных от . Кроме того, в некоторых случаях, не смотря на то, что аналитическое выражение у=f(x) известно, оно может быть слишком громоздким и неудобным для математических преобразований (например, специальные функции). Кроме этого значения y_i могут содержать ошибки эксперимента.

Определение. Точки называются узлами интерполяции.

Требуется найти аналитическое выражение функции F(x), совпадающей в узлах интерполяции со значениями данной функции, т.е.

Определение. Процесс вычисления значений функции F(x) в точках отличных от узлов интерполирования называется интерполированием функции f(x). Если , то задача вычисления приближенного значения функции в т. х называется интерполированием, иначе - экстраполированием.

Геометрически задача интерполирования функции одной переменной означает построение кривой, проходящей через заданные точки (рисунок 5). То есть задача в такой постановке может иметь бесконечное число решений.

у

x x x x х

Рисунок 5 - Геометрическая иллюстрация задачи интерполирования функции

Задача становится однозначной, если в качестве F(x) выбрать многочлен степени не выше n, такой что:

F (x )=y , F (x )=y ,..., F (x )=y .

Определение. Многочлен F (x), отвечающий вышеназванным условиям, называется интерполяционным многочленом.

Определение. Когда многочлен F(x) выбирается в классе степенных функций, то интерполяция называется параболической.

Знание свойств функции f позволяет осознанно выбирать класс G аппроксимирующих функций. Широко используется класс функций вида

(5.1)

являющихся линейными комбинациями некоторых базисных функций (x),..., _m(x). Будем искать приближающую функцию в виде многочлена степени m, с коэффициентами с ,...,с , которые находятся в зависимости от вида приближения. Функцию Ф_m(х) называют обобщенным многочленом по системе функций ₀(х),₁(х),…,_m(х), а число m – его степенью. Назовем обобщенный многочлен Ф_m(х) интерполяционным, если он удовлетворяет условию

Ф_m(х_i)=y_i, (i=0,1,…,n). (5.2)

Покажем, что условие (5.2) позволяет найти приближающую функцию единственным образом

(5.3)

Система (5.3) есть система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов с₀,с₁,…,с_m.

Эта система n линейных уравнений имеет единственное решение, если выполняется условие m=n и определитель квадратной матрицы Р

Определение. Система функций (x),..., _m(x), линейно независимая в точках х₀,х₁,…,х_n, которые попарно различны и выписанный выше определитель не равен нулю, называется Чебышевской системой функций. Если мы имеем такую систему, то можно утверждать, что существует единственный для данной системы функций интерполяционный многочлен Ф_m(х), коэффициенты которого определяются единственным образом из системы (5.3).

Пример. При mn система функций 1,х,х²,…,х^m линейно независима в точках х₀,х₁,…,х_n, если они попарно различны.