ЭУМКД_ДиВМ3

4.1.3 Метод Данилевского

Две матрицы A и B называются подобными, если одна получается из другой путем преобразования с помощью некоторой не вырожденной матрицы S:

B=S^-1*AS,

если это равенство справедливо, то матрицы A и B подобны, а само преобразование называется преобразованием подобия (переход к новому базису в пространстве m - мерных векторов).

Пусть y - результат применения матрицы A к вектору х

y=A*х.

Сделаем замену переменных:

x=S*x' , y=S*y'.

Тогда равенство y=A*х преобразуется к виду

y'=S^-1*A*S*x'.

В этом случае матрица B и матрица A имеют одни и те же собственные числа. Это можно легко увидеть раскрыв определитель

Следовательно, матрицы A и B - подобные, имеют одни и те же собственные значения. Но собственные векторы х и х’ – не совпадают, они связаны между собой простым соотношением

х = S*х'.

Такую матрицу A с помощью преобразования подобия или же последовательности таких преобразований можно привести к матрице Фробениуса вида:

Детерминант матрицы F det (F) можно разложить по элементам первой строки:

Тогда коэффициенты характеристического многочлена матрицы А будут р₁ = f₁₁, p₂ = f_12,…, p_n = f₁_m_.

Второй случай. Матрицу А преобразованием подобия можно привести к матрице В верхнего треугольного вида

Тогда собственными числами будут диагональные элементы матрицы B:

Третий случай. Матрицу A с помощью преобразования подобия можно привести к Жордановой форме

где _i - собственные числа матрицы A; S_i - константы (0 или 1); если S_i=1, то _i=_i+1.

К четвёртому случаю относятся матрицы, которые с помощью преобразования подобия можно привести к диагональному виду (матрица простой структуры):

у которой, как известно, собственными числами являются диагональные элементы.

Содержание