lec_alg_i_geom

Уравнение прямой на плоскости

Th. 13.1

Любая прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением первой степени:

(13.4)

И, наоборот, любое уравнение первой степени определяет на плоскости прямую.

Доказательство.

1) Положение прямой однозначно определяется точкой которая принадлежит прямой, и вектором Будем называть этот вектор нормальным вектором прямой или нормалью. Т.к , то

Выберем - текущую точку прямой

Рис. 13.1

Очевидно, что тогда и только тогда, когда или В координатной форме последнее равенство имеет вид:

(13.5)

После раскрытия скобок получаем , где Таким образом, первая часть утверждения теоремы доказана.

2) Пусть – одно из решений уравнения (13.4), т.е.

(13.6)

Вычтем из уравнения (13.4) уравнение (13.6), получим Это уравнение является координатной записью условия где Но это условие определяет прямую, которая проходит через точку М перпендикулярно вектору . Таким образом, доказано и второе утверждение теоремы .

Замечания.

1. Уравнение называется уравнением прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

2. Уравнение (13.4) называют общим уравнением прямой. Коэффициенты перед переменными в общем уравнении прямой на плоскости имеют вполне определенный геометрический смысл: они являются координатами нормального вектора прямой.

3. Очевидно, что если в уравнении (13.4) то прямая проходит через начало координат.

4. Если в уравнении (13.4) то В этом случае прямая параллельна оси Аналогично, если в уравнении (13.4) то прямая параллельна оси

Содержание