4 Решение проблемы собственных значений

Пусть дана квадратная матрица A размерностью (m*m) и существует такое число , что выполняется равенство

,

тогда такое число  называется собственным значением матрицы А, а x– соответствующим ему собственным вектором.

Перепишем это равенство в эквивалентной форме

Система (4.1) - однородная система линейных алгебраических уравнений. Для существования нетривиального решения системы (4.1) должно выполняться условие

Определитель в левой части уравнения является многочленом m-ой степени относительно , его называют - характеристическим определителем (характеристическим многочленом). Следовательно, уравнение (4.2) имеет m корней или m собственных значений. Среди них могут быть как действительные, так и комплексные корни.

Задача вычисления собственных значений сводится к нахождению корней характеристического многочлена (4.2). Корни могут быть найдены одним из итерационных методов (в частности методом Ньютона).

Если найдено некоторое собственное значение матрицы A, то подставив это число в систему (4.1) и решив эту систему однородных уравнений, находим собственный вектор х, соответствующий данному собственному значению.

Собственные вектора будем при нахождении нормировать (вектор х умножаем на ||х||^-1, и таким образом они будут иметь единичную длину), нахождение собственных значений матрицы A и соответствующих им собственных векторов и есть полное решение проблемы собственных значений. А нахождение отдельных собственных значений и соответствующих им векторов - называется решением частной проблемы собственных значений.

Эта проблема имеет самостоятельное значение на практике.

Например, в электрических и механических системах собственные значения отвечают собственным частотам колебаний, а собственные вектора характеризуют соответствующие формы колебаний.

Эта задача легко решается для некоторых видов матриц - диагональных, треугольных и трехдиагональных матриц.

К примеру определитель треугольной или диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов, тогда и собственные числа равны диагональным элементам.

Пример 1. Матрица А – диагональная . Тогда

det(А-Е)= , а характеристическое уравнение имеет трехкратный корень =а.

Собственными векторами для матрицы А будут единичные векторы

Пример 2. Найдем собственные числа матрицы

.

Составим характеристический многочлен

Используя метод Ньютона, определим один из корней уравнения Р₃()=0, а именно ₁  -7.87279.

Разделив многочлен на (-₁) получим многочлен второй степени: =² + 3.02711 + 2.66765. Решив квадратное уравнение, находим оставшиеся два корня:_2,3  -1.51356  0.613841 * i (комплексное сопряженные корни).

Существуют прямые методы нахождения собственных значений и итерационные методы. Прямые методы неудобны для нахождения собственных значений для матриц высокого порядка. В таких случаях с учетом возможностей компьютера более удобны итерационные методы.