logo
Готовая вышка-теор

Билет №18. Математическое ожидание его свойства. Вероятностный смысл

Математическим ожиданием дискретной СВ называется сумма произведений возможных значений Xi, которые приобретает величина X, на соответствующие им вероятности Pi.

Пусть задан ряд распределения дискретной СВ.

xi

x1

x2

…

xi

…

xn

pi

p1

p2

…

pi

…

pn

Мат. Ожидание дискретной СВ тогда будет равно: M(X) =x1p1+x2p2+…+xnpn=

Матожидание часто называют центром распределения. С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания.

  1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

  2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

  3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

Следствие1: Матожидание отклонение СВ от ее матожидания =0 M(X-M(X)) =0

Следствие2: Матожидание разности СВ =разности их :матожиданий M(X-Y) =M(X)-M(Y)

  1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин. Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.

  1. :Матожидание произведение независимых СВ= произведению их матожиданий M (XY) = M(X)*M(Y)

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

Однако математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.