64(106). Коэффициент корреляции и его свойства

Простейшей характеристикой связи случайных величин ₁ и ₂ является так называемый коэффициент корреляции, определяемый формулой

где а₁ = М₁, а₂ = М₂ , = D₁ , =D₂

Для независимых величин ₁ и ₂ коэффициент корреля­ции равен 0. В общем случае он всегда лежит в пределах - 1 < r < 1. Если r = -1 или r = 1, то ₂ линейная функция от ₁ :

Вообще, каков бы ни был коэффициент корреляции, величина дает наилучшее линейное приближение для случайной величины ₂ наилучшее в том смысле, что

где min берется по всевозможным постоянным с₁ и с₂.

Ана­логично величина является наи­лучшим линейным приближением для ₁ .

Случайные величины ₁ и ₂ называются некоррелиро­ванными, если их коэффициент корреляции равен 0. На­пример, не коррелированны наилучшее линейное прибли­жение ₁ и разность ₂-_2.

Коэффициент корреляции случайных величин ₁ и ₂ грубо говоря, характеризует лишь «степень линейной зави­симости» ₁ и ₂. Пусть, например, ₁ - симметрично рас­пределенная величина с плотностью р_(х) такой, что р_(-х)=р_(х) , и пусть ₂ =₁. Тогда, хотя величина ₂ и является функцией от ₁, коэффициент корре­ляции величин ₁ и ₂ будет равен 0, поскольку

.

Свойства коэффициента корреляции

1. -1 r_,1

2. Если r_,=1, то с вероятностью 1 выполняется соотношение:

(т.е. в этом случае  и  связаны линейным соотношением).

Поэтому r_, можно рассматривать как меру линейной зависимости величин  и . Если величины  и  таковы, что r_, = 0, то они называются некоррелированы. Тогда

.