Билет №25.Интегральная теорема Лапласа

Пусть n_A число появления события А (число успехов) в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с вероятностью p (не появится с вероятностью q=1-p). СВ n_A можно представить в виде суммы независимых СВ X₁, X₂,…,X_n таких, что X_i=1, если в i-м испытании событие наступило, и X_i=0 в противном случае, т.е.

Т.к. MX_i = p, DX_i = pq, то Mn_A = M ( ) = np,

Dn_A = D ( ) = npq, (т.к. СВ n_A имеет биномиальный закон распределения). Тогда Z_n= , представляет также сумму n независимых, одинаково распределенных СВ. При этом Z_n~N(1,0), MZ_n= DZ_n=

Св Z_n при большом числе n имеет приближенно нормальное распределение. Согласно свойствам нормального закона:P {z₁≤Z_n≤z₂} ≈ Φ (z₂)-Φ (z₁). Полагая

z₁= z₂=

можно записать двойное неравенство в эквивалентном виде k₁≤n_A≤k₂. Таким образом получаем: P {k₁≤n_A≤k₂} = Φ (z₂)-Φ (z₁), т.е.Интегральную формулу Лапласа

Если вероятность p появления определенного события в каждом испытании постоянна, а число испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что событие А произойдет не менее m₁ и не более m₂ раз (m₁  m₂), приблизительно равна: P_n (m₁≤ m≤ m₂) ≈Φ(x₂)-Φ(x₁)

x₁= ; x₂=

Интегральная теорема Лапласа P{ < x}→Φ(x), при n_A= , MX_i=p, DX_i=pq, тогда na=np,

Для подсчета сумм биномиальных вероятностей можно воспользоваться приближенной формулой:

где Ф(x)- функция Лапласа