31.Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.

Пусть функция u=f(M) один раз дифференцируема в некоторой окрестности точки Мо и два раза дифференцируема в самой точке Мо, пусть кроме того Мо – стационарная точка. Тогда:

1.Если d²u в точке Мо положительно определенная квадратичная форма относительно переменных dx1,dx2,…,dxn, то Мо – точка локального минимума

2.Если d²u в точке Мо отрицательно определенная квадратичная форма, то Мо – точка локального Максимума.

3.Если d²u в точке Мо знакопеременная квадратичная форма, то экстремум в точке Мо не существует.

Частный случай:

[Т] пусть функция u=f(x,y) один раз дифференцируема в окрестности точки Мо с координатами (хо,уо) и два раза дифференцируема в самой точке Мо и пусть Мо – стационарная точка, тогда если в точке Мо выполнено условие:

, то функция имеет в точке Мо локальный экстремум, причем если в точке Мо>0 , то Мо точка локального минимума.

Если (Мо)<0 то Мо точка локального Max

Если же то экстремум в точке Мо не существует.