19.Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.

Понятие функции n- переменных. Пусть каждой точке М из множества точек {M} n-мерного евклидова пространства Еⁿ по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число u из числового множества U. Тогда будем говорить, что на множества {M} задана функция u=f(M) При этом множества {M} и U называются соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M), а u частным значением функции в точке M.

Предел функции n-переменных

Пусть каждому К из множества натуральных числе поставлена в соответствие точка МкЕⁿ, то последовательсность точек М1, М2…Мn будет называться последовательностью точек n-мерного Евклидова пространства

Последовательность точек {Мk} включенных в Еⁿ называется сходящейся, если существует такая точка А, что для любого числа >0 можно указать номер N, начиная с которого (при n>N) все точки этой последоватльности будут находится в -окрестности точки А, т.е. р(Мn, А)< Тогда число А называется пределом последовательности {Mn}

Рассмотрим функцию u=f(M), определенную на множестве М, включенном в n-мерное евклидово пространство. (D(f)={M}Еⁿ

Пусть а- некоторая точка n-мерного евклидова пространства:

1.А{M}

2.А{M} но в любой -окрестности точки А содержится хотя бы одна точка множества М

Предел функции. Число b называют пределом функции f(M) в точке А (при МА), если для любой последовательности точек {Mn} из множества {M}, сходящейся к точке А (Mn Отлична от А), соответствующая последовательность значений функции {f(Mn)} сходится к b.

По Коши: Число b называется пределом функии f(M) в точке А, если для любого числа >0 можно найти такое число >0, что для всех точек М множества {M} из -окрестности точки А (удовлетворяющих неравенству р(М,А)<) выполняется неравенство |f(M)-b|<

[T] Пусть две функции f(M) и g(M) определенные на одном множестве {M}, имеют соответственно пределы b и с в точке А. Тогда функции f(M)g(M), f(M)g(M) и f(M)\g(M) (при с0) имеют пределы в точке А, равные соответственно bc, bc и b\c.

Функция u=f(M) называется б-м в точке А, если ее предел в ней равен 0

Функция u=f(M) называется б-б в точке А, если ее предел в ней бесконечен