42.Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
Знакочередующийся ряд можно записать в виде a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1an+…, (1) где an>0. Признак сходимости Лейбница: теорема: Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают: a1>a2>a3>…и общий член ряда стремится к нулю: lim an = 0, то ряд сходится.
n
Д ок-во: Пусть дан ряд (1) и пусть an>an+1 и a0 при n. Рассмотрим частичную сумму ряда с чётным числом членов S2n=a1-a2+a3-a4+…+a2n-1-a2n=(a1-a2)+(a3-a4)+…+(a2n-1-a2n). Все разности в скобках в силу первого условия положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S2n}является возрастающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим S2n в виде
S2n=a1-[(a2-a3)+(a4-a5)+…+(a2n-2-a2n-1)+a2n]. Отсюда следует, что S2n<a1 для любого n, т.е. {S2n} ограничена. Итак, последовательность {S2n} возрастающая и ограниченна, следовательно, она имеет предел lim S2n=S.
n
Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм нечётного числа членов сходится у тому же пределу S. Действительно, S2n+1=S2n+a2n+1. Переходя в этом равенстве к пределу при n и используя второе условие (an0 при n) , получаем:
lim S2n+1 = lim (S2n + a2n+1) = lim S2n + lim a2 +1 = S + 0 = S.
n n n n
Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (1) сходится к пределу S. Это и означает, что ряд (1) сходится.
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
- Понятие неопределенного интеграла.
- Методы замены переменной
- 4.Метод интегрирования по частям.
- 5.Основные типы интегралов берущихся по частям.
- 6.Теорема о представлении рациональной функции в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами.
- 7.Метод неопределенных коэффициентов.
- 8.Основные типы интегралов от рациональных функций.
- 9.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.
- 10.Понятие определенного интеграла.
- 11.Основные свойства определенного интеграла.
- 12.Интеграл с переменным верхним пределом.
- 13.Формула Ньютона-Лейбница.
- Замена переменных в определенном интеграле.
- Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
- 17.Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- 18.Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.
- 19.Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
- 20.Непрерывность функции n переменных.
- 21.Непрерывность сложной функции.
- 22.Частные производные функции n переменных.
- 23.Дифференцируемость функции n переменных.
- 24.Дифференциал функции n переменных.
- 25.Дифференцирование сложной функции.
- 26.Производная по направлению. Градиент.
- 27.Частные производные высших порядков функции n переменных.
- 28.Дифференциал второго порядка функции n переменных.
- 29.Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
- 30.Локальный экстремум функции n переменных. Необходимое условие локального экстремума.
- Необходимое условие локального экстремума
- 31.Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.
- 32.Неявные функции.
- 33.Условный экстремум
- 34.Метод множителей Лагранжа.
- 35.Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.
- 36Свойства сходящихся числовых рядов.
- 38.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
- 39.Признак сравнения.
- 40.Признак Даламбера.
- 42.Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
- 43.Знакопеременные ряды, их сходимость.
- 44.Степенные ряды.
- 45.Теорема Абеля.
- 46.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
- 47.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда