36Свойства сходящихся числовых рядов.

Св. сход. Рядов

1⁰ Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость(расходимость) ряда

2⁰ Если ряд а₁+а₂+…..+а_n+…..=3_n=1^%а_n сходится и имеет сумму S то сход. Также и ряд 3_n=1^%ka_n, где k не равняется 0 и постоянное число, при чём сумма этого ряда равна kS

3⁰ Если ряды 3_n=1^%а_n и 3_n=1^% b_n сходятся и суммы их соответственно равны S’ и S”, то и ряд 3_n=1^%(а_n b_n) также сходится , при чём его сумма S=S’S”

2⁰ и 3⁰ следуют из соответствующих свойств сходящихся последовательностей

4⁰ Общий член а_n сходящегося ряда стремиться к 0 при n0

37. Необходимое условие сходимости числового ряда. Сходимость гармонического ряда.

Т. Если ряд сходится, то его общий член стремится к 0.

а_n=S_n-S_n-1 и, поскольку ряд сход., S_nS и S_n-1S при n, где S- сумма ряда отсюда и след. Справедл. Данного св., кот. Наз. Необх. Услов. Сход. Ряда(если оно не соблюдается то ряд расходится)

Замеч. 4⁰ явл. необх. Усл. , но не явл. достаточн. ,т.е. по нему нельзя провер. сход. ряда

Сходимость Гармонического ряда

1+1/2+1/3+1/4+…..+1/n+…..=3_n=1^%1/n

lim _nY%1/n=0, но тем не менее этот ряд расход.

П.п. гармонич. Ряд сходится:

lim _nY%S_2n=S

lim _nY%S_n=S

S_2n- S_n

lim _nY%(S_2n- S_n)=S-S=0

S_2n- S_n=1/(n+1)+1/(n+2)+…..+1/2n>1/2n+1/2n+1/2n+1/2n=n*2n=1/2

Мы пришли к противоречию, гармонич. Ряд расходится.