46.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.

Если ряд  а_n хⁿ (1) сходится на при всех значениях х и не только при х=0, то

n=0

существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при  х<R и расходится при  х>R.

Д ок-во: обозначим через Х множество точек х, в которых ряд (1) сходится. Покажем, что множество Х ограничено. Действительно, если взять точку х₁, в которой ряд расходится (по условию такие точки существуют), то по теореме Абеля для любого х из множества Х выполняется неравенство  х< х₁. Известно, что у ограниченного сверху множества существует ТВГ. Положим R = supx. Так как ряд сходится не

xХ

только при х=0, то R>0.

Возьмём теперь любое х, для которого  х< R. Согласно свойству ТВГ найдется х₀Х такое, что  х< х₀ R, откуда по теореме Абеля следует абсолютная сходимость ряда при взятом х.

Возьмём теперь любое х, для которого  х> R. Такое хХ. Следовательно, при этом х ряд расходится. 

Таким образом, решён вопрос об области сходимости степенного ряда. Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут R=), у других вырождается в одну точку R (R=0). Всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R. При х = R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда.