logo
матан-шпоры

26.Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Градиент. Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x,y,z). Пусть она определена в некоторой окрестности точки Мо(хо,yo,zo) принадлежащей 3- мерному евклидову пространству и дифференцируема в точке Мо. Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки Мо. Каждый такой луч заадется единственным вектором (соs, cos,cos) Угол наклона к осям. Зафиксируем один такой луч. Проведем из точки Мо луч, содержащий единичный вектор M. Зафиксируем на нем точку М и определим отрезок МоМ. Если l- длина этого отрезка, то его координаты (lcos, lcos, lcos) C другой стороны: (x-xo, y-yo, z-zo)

Т.о. получили один и тот же отрезок:

П риравняем

u=f(Xo+lcos, Yo+lcos, Zo+lcos)

Т.о. u- сложная функция.

Производную указанной сложнгой функции по переменной l, взятую в точке l=0 называют производной функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, определяемому единичным вектором l. Обозначение:

Производная функции по направлению единичного вектора.

Градиентом функции u=f(x,y,z) в данной точке Мо(xo,yo,zo) называется вектор, координаты которого имеют вид gradu(Mo)=

Если: u=f(x1,x2,…,xn) Mo(

Основные свойства градиента:

1.Градиент функции y=f(x,y,z) в точке Мо характеризует направление и величину максимального роста функции в точке Мо.

2.Производные функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, определенный градиент этой функции в точке Мо имеет максимальное значение по сравнению со значением производной в этой точке по любому другому направлению

Геометрический смысл градиента:

Линии уровня для функции двух переменных u=f(x,y) называется линия на которой функция сохраняет свое постоянное значение.

Если В каждой точке линии уровня M(xо,yо) построить касательную, то вектор-градиент в точке Мо будет перпендикулярен этой касательной.

Поверхность уровня- фунция u=f(x,y,z) в точке Мо (xo,yo,zo) называется поверхность на которой функция сохраняет свое постоянное значение.

Свойства: если в каждой точке Mo(xo,yo,zo) провести касательную поверхность, то вектор градиент будет ортогонален этой поверхности.

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4