43.Знакопеременные ряды, их сходимость.

Знакопеременный ряд: a₁ + a₂ +a₃+…+a_n+…= a_n (1), где числа а₁…могут быть как

n=1

положительными, так и отрицательными, причём расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассматривается ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):



а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=а_n (2).Такой признак сходимости – теорема:

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Док-во: пусть ряд (2) сходится. Обозначим через S_n частичную сумму ряда (1), а через _n частичную сумму ряда (2): S_n= a₁ + a₂ +a₃+…+a_n; _n =а₁+а₂+а₃+…+а_n.Так как ряд (2) сходится, то последовательность его частичных сумм {_n} имеет предел lim _n=, при этом для любого n имеет место неравенство _n  (3), поскольку члены ряда (2) неотрицательны.

Обозначим через S’_n сумму положительных членов, а через S’’_n сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме S_n . Тогда: S_n = S’_n - S’’_n(4), _n = S’_n + S’’_n (5). Очевидно, последовательности { S’_n } и { S’’_n } не убывают, а из равенства (5) и неравенства (3) следует, что они являются ограниченными: S’_n _n  и S’’_n _n . Следовательно, существуют lim S’_n = S’ и lim S’’_n = S’’. Но в таком случае, в

n n

силу равенства (4), последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел :

lim S_n = lim ( S’_n - S’’_n)= lim S’_n - lim S’’_n = S’_n – S’’_n.

n n n n

Это означает, что ряд (1) сходится.