47.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда

Если существует предел lim a_n+1/a_n0 ,то радиус сходимости степенного ряда а_nхⁿ

n n=0

(1) равен R= lim a_n/a_n+1.

n 

Док-во: рассмотрим ряд а_nхⁿ(2). По условию существует предел lim a_n+1/a_n0.

n=0 n

Обозначим его через 1/R. Тогда lim a_n+1xⁿ⁺¹/a_nxⁿ=x lim a_n+1/a_n=x/R.

n n

При каждом значении х степенной ряд становится числовым рядом. Поэтому по признаку Даламбера ряд (2) также сходится, если x/R<1 ,т.е.  х< R. Следовательно, по теореме о сходимости знакопеременных рядов ряд (1) также сходится при  х< R, причём абсолютно. При  х> R ряд (1) расходится, т.к. lim a_n+1xⁿ⁺¹/a_nxⁿ=x/R>1 и ,

n

следовательно, общий член ряда а_nхⁿ не стремится к нулю при n.

Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала (-R,R) и расходится вне его, т.е. радиус сходимости R= lim a_n/a_n+1

n

Замечание. Можно доказать, что если lim a_n+1/a_n= 0, то ряд (1) сходится на всей

n

числовой прямой, т.е. R=, а если lim a_n+1/a_n=,то ряд сходится только при х=0, т.е.

n

R=0.