Замена переменных в определенном интеграле.

Замена переменных в определенном интеграле

[T] пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и пусть выполнены следующие условия:

1.функцию х=(t) дифференцируема на [,] и ’(t) непрерывна на [,]

2.Множеством значений функции х=(t) является отрезок [a,b]

3.()=a и ()=b, то справедлива формула

Доказательство: По формуле Ньютона- Лейбница: , где F(x)-какая-нибудь первообразная для функции f(x) на [a,b]. С другой стороны, рассмотрим сложную функцию Ф(t)=F((t)) Согласно правилу дифференцирования сложной функции находим: Ф’(t)=F’((t))*’(t)=f((t))’(t). Отсюда следует, что функция Ф(t) является первообразной для функции f((t))’(t), непрерывной на [,] и поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем, = Ф()-Ф()=F(())-F(())=F(b)-F(a)=

Это формулы замены переменной или подстановки в определенном интеграле.

Замечание1. Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной мы должны были от новой переменной t возвращаться к старой переменной х, то при вычислении определенного интеграла этого можно не делать, т.к. цель- найти число, которое в силу доказанной формыл равно значению каждого из рассматриваемых интегралов.