9.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.

Рассмотрим функцию f(x) определенную в каждой точке сегмента [a,b], a<b

Def Будем говорить, что задано разбиение сегмента [a,b] если заданы точки х_0, х_{1, ….,} х _{n, .}

Такие что а= х_0< х_1< х _2<….< х _n=b. { х _n }- разбиение х _n . Рассмотрим на сегменте [a,b] функцию f(x) принимающую в каждой точке сегмента конечные значения. По данному разбиению {x_k} построим ( х _к; _к)= (1)

 _к[x_k-1;x_k] , полученное число называют интегральной суммой. Она зависит от способа разбиения Xk и от выбора точек  _к Отрезки получающиеся в результате разбиения [x_k-1;x_k] называются частичными отрезками.  х_к =х_к-х_к-1 – длина частичного отрезка

И тогда интегральную сумму (1) можно записать в виде (х_к;_к)= (2)

Диаметр разбиения: максимальная длина частичного отрезка называется диаметром разбиения и обозначается числом d. d=max х_к

Геометрический смысл интегральных сумм:

F(₁)*x₁=S прямоугольника 1

F(₂)*x₂=S прямоугольника 2

f(₁)*x₁+f(₂)*x₂+…. f(n)*x_n=( х_к;_к)=S*

где S* площадь ступенчатой фигуры, т.е. интегральная сумма (2) равна S* Если мы устремим диаметр d к 0, S* будет стремится к площади криволинейной трапеции, т.е. фигурой ограниченной снизу сегментом [a,b], сверху неотрицательной функцией f(x), с боков прямыми x=a, x=b.

x

Xo=a (1) (X1) (2) (X2) (x _{k-1 )} (k) x_k (x_n-1) n ( b=x_n)

Геом.смысл:  - сумма площадей прямоугольников с основаниями Х1, Х2,…  Хn и высотами f (₁), f(₂)…f(_n).

S*= f(_k)*  Хk. Т.о. интегральная сумма представляет собой

площадь ступенчатой фигуры. Но если d0 (n ), то

S* = f((_k ; Xk) = f(x)dx = S криволин. трапеции