44.Степенные ряды.



Ряд вида a₀ + a₁x +a₂x² +a₃x³+…+a_nxⁿ+…=a_nxⁿ (1) называется степенным рядом.

n=0

Числа a₀, a_1, a_2,…,a_n,… называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая х различные числовые значения , будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х , при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, т.к. любой степенной ряд сходится при х=0. Очевидно, что частичная сумма S_n (х)= a₀ + a₁x +…+a_nxⁿ является функцией переменной х. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной х, определённой в области

сходимости ряда:

 

S=S(x)= a_nxⁿ (или f(x)= a_nxⁿ).

n=0 n=0