12.Интеграл с переменным верхним пределом.

Интеграл с переменным верхним пределом.

x  [a,b]

Это интеграл у которого нижний предел а=const а верхний предел х переменный. Величина этого интеграла представляет собой функцию верхнего предела х

(х)= , где х принадлежит сегменту [a,b] и ф(х)= интеграл с переменным верхним пределом. Геометрически интеграл с переменным верхним пределом представляет собой S криволинейной трапеции.

[Т] Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. Ф’(x)=( )’_x=f(x)

Ф’(x)=( )’=f(x)

Ф’(x)=

Доказательство:

1 вариант (учебники): возьмем любое значение x[a,b] и придадим ему приращение х0 такое, чтобы х+ х[a,b], т.е. ax+ хb. Тогда функция Ф(х) по определению получит новое значение: Ф(х+ х)=

Согласно второму свойству определенного интеграла, имеем: Ф(х+ х)= + =Ф(х)+ Ф=Ф(х+Х)-Ф(х), т.к. f(x) непрерывна на [a,b] то существует число c[x, x+x]:[ =f(c)x]. Если устремить приращение аргумента к нулю, получим : =f(x) или Ф’(х)=f(x), ч т.д. Можно записать, что f(x)dx=Ф(x)+C= +C

2 вариант (Деревенских) Ф’(х)= Ф(х)= - = + - = =f(c)* x. По теореме о среднем существует c[x, x+x]

Ф’(x)= Отсюда следует, что Ф’(x)=f(x)