23.Дифференцируемость функции n переменных.

[T] Если u=f(x1,x2,x3,…,xn) дифференцируема в точке M(x1, x2,…,xn), то существуют частные производные данной функции по всем переменным, причем , где I= . Доказательство: из условий дифференцируемости функции (2) запишем: xiU=AiXi+iXi, I= . Найдем предел :

Следствия:

-условие дифференцируемости функции в точке М можно записать в виде: xkU= (5)

-если u=f(x1,x2,x3…xn) дифференцируема в точке М, то ее представление приращение в форме (2) или (3) единственно

-Если u=f(x1,x2,…xn) дифференцируема в точке М(x1, x2,…xn), то она непрерывна в каждой точке. (по 4 определению непрерывности функции

Достаточное условие дифференцируемости функции: Если функция u=f(x1, x2,…,xn) имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки Мо( причем все частные производные непрерывны в самой точке Мо, то указанная функция дифференцируема в этой точке.

U=f(x1,x2,…xn) в точке M(x1,…,xn) записывается в виде

Функция u=f(x1,…xn) называется дифференцируемой в т М(x1, x2, …xn), если ее полное приращение представлено в виде

(2)u=A1x1+A2x2+….+AnXn +1x1+…nxn, где А1, А2, …, Аn некоторые числа, не зависящие от X1,X2….X числа, а 1, 2, …m б-м функции соответственно при х1->0, х2->0, …хm->0 Условие называется условием дифференцируемости функции в данной точке М евклидова пространства Е^m

Соотношение (2)называется условием дифференцируемости функции, причем 1=2….n=0, при Х1=Х2=Х3…Хn=0 можно записать следующим образом: u=А1 Х1+ А2 Х2)+…+ Аn Хn

Рассмотрим р= , тогда 1, х=

| |р( р(б-м)( )(б-м)=0(р) Аналогично А1 главная часть приращения, а 0(р) б-м более высокого порядка чем р.

уравнение 2 можно записать как u=А1Х1+А2Х2+…+АnХn+0(p)

Если существует Аi0, то главной частью приращения Является А1Х1+А2Х2+…+АnХn+0(p) Она линейна относительно приращения аргумента.

Если Аi=0, I= , то главная часть также будет равна 0 и функция будет дифференцируема в данной точке по определению.