Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Несобственные интегралы.

При рассмторении опред. интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция ограничена на конечном отрезке интегрирования. Данное выше определение опред. интеграла не имеет смысла, если не выполняется хотя бы одно из этих условий. Нельзя разбить бесконеч. интервал на конечное число отрезков конечной длины, при неограниченной функции интегральная сумма не имеет предела.

В связи с этим вводят понятие несобственного интеграла 1 и 2 рода.

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Пусть функция f(x) определена на промежутке [a; +) и интегрируема на любом отрезке [a,R], R>0, так что интеграл имеет смысл, Предел этого интеграла при R называется несобственным интегралом первого рода и обозначается . В случае, если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [a, +), если же предел бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по промежутку (-, b]. . Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами можно определить как сумму несобственных интегралов , где с- любое число.

Геометр. смысл несобств. интеграла первого рода основан на геометр. интерпретации опред. интеграла на отрезке [a,R]: это площадь бесконеч. области, огранич. сверху неотриц. функцией f(x), снизу осью Ох, слева- прямой х=а. Такая же интерпретация имеет место и для остальных несобств. интегралов.. y=f(x)

а R