Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)

Def Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)на некотором промежутке Х, если для любого х Х выполняется условие F’(x)=f(x). Например, функция F(x)=sinx является первообразной для функции f(x)=cosx на всей прямой, т.к. при любом значении x(sinx)’=cosx

Лемма: Функция, производная которой на некотором промежутке Х равна 0 постоянна на этом промежутке. f’(x)=0(xX), то f(x)=c

Док-во: пусть во всех т. промежутка Х f’(x)=0, тогда для любых 2-х точек функция f(x) определена и непрерывна на [x1,x2] и дифференцируема на (x1,x2) и существует точка (x1,x2) такая, что выполняется Т. Лагранжа, т.е. f(x2)-f(x1)=f’()(x2-x1), где x1<<x2. Т.к. f’()=0, то f(x2)=f(x1)=0, т.е. значения функции во всех точках промежутка одинаковы, т.е. f(x)=С, где С- некоторое число.

[Т] Если F(x)- первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C, где С- произвольная постоянная.

Док-во: Пусть F(x)- первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, т.е. F’(x)=f(x). Пусть Ф(х) некоторая другая первообразная для функции f(x) на промежутке Х, т.е. Ф’(x)=f(x). Тогда для любого хХ (Ф(x)-F(x))’=Ф’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 Т.о. мы получили, что производная функции равна 0, а это означает по лемме, что функция Ф(х)-F(x) постоянна, т.е. Ф(х)-F(x)=С, на промежутке Х, где С- некоторое число. Следовательно, Ф(х)=F(x)+C.

Следствие 1: множество функций F(x)+C, где F(x) одна из первообразных для функции f(x),а С- произвольная постоянная исчерпывает все множество первообразных функций для f(x)

2. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
   • Понятие неопределенного интеграла.
   • Методы замены переменной
   • 4.Метод интегрирования по частям.
   • 5.Основные типы интегралов берущихся по частям.
   • 6.Теорема о представлении рациональной функции в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами.
   • 7.Метод неопределенных коэффициентов.
   • 8.Основные типы интегралов от рациональных функций.
   • 9.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.
   • 10.Понятие определенного интеграла.
   • 11.Основные свойства определенного интеграла.
   • 12.Интеграл с переменным верхним пределом.
   • 13.Формула Ньютона-Лейбница.
   • Замена переменных в определенном интеграле.
   • Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
   • Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
   • 17.Несобственные интегралы от неограниченных функций.
   • 18.Метрические, линейные, нормированные, евклидовы пространства.
   • 19.Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
   • 20.Непрерывность функции n переменных.
   • 21.Непрерывность сложной функции.
   • 22.Частные производные функции n переменных.
   • 23.Дифференцируемость функции n переменных.
   • 24.Дифференциал функции n переменных.
   • 25.Дифференцирование сложной функции.
   • 26.Производная по направлению. Градиент.
   • 27.Частные производные высших порядков функции n переменных.
   • 28.Дифференциал второго порядка функции n переменных.
   • 29.Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
   • 30.Локальный экстремум функции n переменных. Необходимое условие локального экстремума.
   • Необходимое условие локального экстремума
   • 31.Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.
   • 32.Неявные функции.
   • 33.Условный экстремум
   • 34.Метод множителей Лагранжа.
   • 35.Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.
   • 36Свойства сходящихся числовых рядов.
   • 38.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
   • 39.Признак сравнения.
   • 40.Признак Даламбера.
   • 42.Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
   • 43.Знакопеременные ряды, их сходимость.
   • 44.Степенные ряды.
   • 45.Теорема Абеля.
   • 46.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
   • 47.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда

   Yandex.RTB R-A-252273-4