Частные производные первого и высшего порядков. Дифференциал функции нескольких переменных.

Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел

,

вычисленный при постоянном .

Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел

,

вычисленный при постоянном .

Для частных производных справедливы обычные формулы и правила дифференцирования.

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от её частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

; ;

; .

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например:

; и т. д.

Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, например, .

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

.

При достаточно малых и для дифференцируемой функции справедливы приближённые равенства

и ,

где – приращение функции, а дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. и .

Аналогично определяется полный дифференциал функции трёх и более аргументов, например, для функции

.

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от её полного дифференциала, т. е. .

Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков: , …, .

Если и – независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам

;

.

Вообще, имеет место формула

,

которая формально раскрывается по биномиальному закону.