Экстремум функции двух переменных

Максимум или минимум функции называется её экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е. , (необходимое условие экстремума).

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума!

Пусть – стационарная точка функции . Обозначим , , , . Тогда

1. если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если , минимум, если ;

2. если , то в точке экстремума нет;

(достаточные условия наличия или отсутствия экстремума)

3. если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Условным экстремумом функции называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные и связаны уравнением (уравнение связи).

Условие определяет некоторую цилиндрическую поверхность в пространстве, которая пересекается с поверхностью по некоторой линии. Фактически необходимо исследовать на экстремум эту линию пересечения.

Укажем здесь два способа отыскания условного экстремума функции двух переменных.

I. Если уравнение связи записать в явном виде и подставить затем в уравнение , то останется лишь исследовать на экстремум полученную функцию одной независимой переменной.

II. Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа , где – множитель Лагранжа.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

Из этих трёх уравнений можно найти неизвестные , и .

Достаточные условия экстремума функции Лагранжа:

1. точка будет точкой условного максимума, если при ;

2. точка будет точкой условного минимума, если при .

Здесь , .

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:

1. найти стационарные точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;

2. найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области;

3. из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.