Примеры решения задач

1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: а) ; б) ; в) .

Решение.

а)

Такой предел не существует. Следовательно, несобственный интеграл расходится.

б) ,

т. е. несобственный интеграл сходится и его значение равно 1.

в) Подынтегральная функция – чётная, поэтому

то есть интеграл сходится и его значение равно .

2. Исследовать на сходимость интегралы: а) ; б) .

Решение.

а) Здесь при , при этом . Но интеграл расходится ( ). Поэтому, согласно признаку сравнения 1, интеграл расходится.

б) Здесь при . Рассмотрим функцию , интеграл от которой сходится ( ). А так как существует предел , то интеграл также сходится (признак сравнения 2).

3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Подынтегральная функция в точке неограниченна, поэтому

,

т. е. несобственный интеграл расходится.

б) Подынтегральная функция терпит разрыв при . Поэтому

,

т. е. интеграл сходится и его значение равно .

в) Подынтегральная функция терпит разрыв при . Поэтому

,

т. е. интеграл сходится.

4. Исследовать на сходимость интегралы: а) ; б) .

Решение.

а) Подынтегральная функция при и неограниченна в точке , при этом . Но интеграл сходится ( ). Поэтому, согласно признаку сравнения 1, интеграл также сходится.

б) Функция терпит бесконечный разрыв в точке . Перепишем её в виде и сравним с функцией . Интеграл сходится ( ). Так как

,

то, согласно предельному признаку сравнения 2, интеграл также сходится.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1. Ответ: .

2. Ответ: .

3. Ответ: расходится.

4. Ответ: расходится.

5. Ответ: .

6. Ответ: расходится.

7. Ответ: .

8. Ответ: расходится.

9. Ответ: .

10. Ответ: .

Исследовать на сходимость интегралы:

1. Ответ: .

2. Ответ: расходится.

3. Ответ: .

4. Ответ: сходится.

5. Ответ: сходится.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 8