Примеры решения задач

1. Найти частное решение дифференциального уравнения

, .

Решение. Будем решать уравнение методом вариации постоянной. Для этого составим соответствующее однородное уравнение

и найдем его решение . Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде . Вычислив и подставив в заданное неоднородное уравнение, получим дифференциальное уравнение , решением которого является функция , где – произвольное постоянное число. Следовательно, общее решение имеет вид . Используя начальное условие , найдем , отсюда частным решением будет .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Переписав уравнение в виде , заметим, что оно является линейным. Решим его с помощью метода подстановки, то есть ищем решение в виде . Подставив и в исходное уравнение, получим . Преобразуем последнее уравнение к виду . Найдем функцию из условия

,

тогда уравнение на функцию будет следующим:

.

Решив первое из двух последних уравнений, получим одно из частных решений . Подставив найденную функцию в последнее уравнение и проинтегрировав его, получим . Следовательно, общим решением заданного уравнения будет .

3. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Данное уравнение не является линейным относительно функции , но, переписав его в виде , или

,

видим, что оно является линейным относительно функции . Решим полученное уравнение методом вариации постоянной. Составим соответствующее однородное уравнение , разделим переменные , проинтегрируем , отсюда получим . Ищем общее решение неоднородного уравнения в виде

.

Напомним, что переменной является . Подставив последнее равенство в неоднородное уравнение, после преобразований получим уравнение на неизвестную функцию : . Его решением является , где – произвольное постоянное число. Таким образом, получим ответ: .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Это уравнение Бернулли. Разделим обе части уравнения на функцию : . Введем замену , следовательно, . Тогда уравнение перепишется в виде линейного уравнения

.

Его решением будет . Отсюда

,

или общий интеграл заданного уравнения имеет вид

.

Отметим, что заданное уравнение Бернулли можно также решить с помощью метода подстановки.

5. Найти частное решение дифференциального уравнения

.

Решение. Это уравнение Бернулли. Решим его методом подстановки. Сделав замену , , получим , или

.

Рассмотрим два уравнения: . Интегрируем первое из них:

.

Подставляем найденную функцию во второе уравнение:

.

Разделяем переменные и интегрируем (в одном из интегралов используем метод интегрирования по частям):

,

отсюда . Тогда общее решение уравнения запишется в виде .

Используем начальное условие : , следовательно, . Таким образом, частным решением уравнения будет .

6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Проверим, что это уравнение в полных дифференциалах:

и .

Приведем уравнение к виду . Для этого перепишем заданное уравнение в виде , отсюда нетрудно заметить, что .

Тогда уравнение примет вид:

,

следовательно, общим интегралом исходного уравнения является

.

7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Проверим, что это уравнение в полных дифференциалах:

и .

Воспользуемся формулой . Пусть и , так как данная точка входит в область определения функций .

Интегрируем (отметим, что при интегрировании по переменной x вторая переменная y считается постоянной):

.

Итак, общим интегралом заданного уравнения является

.

8. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Проверим, что это уравнение в полных дифференциалах:

и ,

Составим систему , :

, .

Проинтегрировав первое уравнение по переменной x (при этом переменную y считаем постоянным числом), получим

.

Подставив найденную функцию во второе уравнение, найдем

,

отсюда , следовательно, .

Общим интегралом исходного уравнения будет , то есть

.