Примеры решения задач

1. Найти интегралы, используя подходящую подстановку: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

Решение.

а)

.

Этот интеграл был вычислен нами ранее (см. занятие 1, 3б). Вообще, все интегралы, вычисляемые с помощью приёма подведения под знак дифференциала, могут быть найдены также и методом замены переменной.

б) .

в)

.

г)

.

д)

.

е)

.

ж)

.

з)

.

2. Найти интегралы, используя интегрирование по частям: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение.

а)

б) .

в)

.

г) .

Для интеграла снова применим метод интегрирования по частям:

Тогда .

д) .

Создаётся впечатление, что интегрирование по частям не привело к цели, так как интеграл не упростился. Попробуем, однако, ещё раз проинтегрировать по частям:

,

т. е. .

Таким образом, приходим к уравнению относительно неизвестной величины : , откуда следует, что .

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы, используя подходящую подстановку:

1. Ответ: .

2. Ответ: .

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ: .

12. Ответ: .

Найти интегралы, используя интегрирование по частям:

1. Ответ: .

2. Ответ: .

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ:

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3