Примеры решения задач

1. Найти интегралы: а) ; б) ; в) .

Решение.

Это интегралы типа 1.

а) В этом случае . Сделаем подстановку (6– наименьшее общее кратное чисел 2 и 3). Тогда

б) В этом случае . Сделаем подстановку (6– наименьшее общее кратное чисел 2 и 3). Тогда

.

в) В этом случае . Сделаем подстановку . Отсюда и, значит,

.

Тогда

.

2. Найти интеграл .

Решение.

Это интеграл типа 2. Применим подстановку . Тогда

.

Здесь в последнем равенстве использована формула:

.

3. Найти интеграл .

Решение.

Это интеграл типа 3. Выделим полный квадрат в знаменателе:

и сделаем подстановку . Тогда

.

4. Найти интеграл .

Решение.

Представим данный интеграл в виде .

Теперь видно, что под знаком интеграла стоит дифференциальный бином вида 4, при этом . Так как в данном случае – целое число, то следует применить подстановку 2), т. е. . Следовательно, , и, значит, . Таким образом,

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Ответ: .

2. Ответ: .

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ. .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ: .

12. Ответ:

.

13. Ответ: .

14. Ответ:

15. Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6