Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные и сводящиеся к однородным уравнения

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными имеют следующий вид:

.

Здесь коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от переменных и . Данное уравнение приводим к уравнению с разделенными переменными путем деления на и затем интегрируем. Получаем ответ в виде общего интеграла

,

где – произвольное постоянное число.

Заметим, что при делении можно потерять частные решения, обращающие в нуль произведение . В этом случае, если одно или оба уравнения и имеют решения и , то равенства и нужно присоединить к ответу.

Уравнение вида , где , приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены , отсюда . Здесь – новая неизвестная функция.

Однородное уравнение может быть записано в виде

.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены , отсюда , следовательно, .

Уравнения вида

,

приводятся к однородным уравнениям.

Если , то делаем замену и , где и – новые переменные, а числа и находим из системы уравнений:

Если , , то в этом случае делаем замену , следовательно, .