Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

1. Интегралы типа , где – рациональная функция, – действительные числа, – натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной дроби путём подстановки , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей .

2. Интегралы вида , , приводятся к интегралам от рациональной относительно и функции с помощью следующих тригонометрических подстановок: для первого интеграла, для второго интеграла, для третьего интеграла.

3. Интегралы типа можно найти, если выделить под корнем полный квадрат:

и сделать подстановку . При этом интегралы приводятся к рассмотренным в п. 2.

4. Интегралы от дифференциальных биномов , где – действительные, а – рациональные числа выражаются через элементарные функции только в трёх случаях:

1. – целое число; данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей и ;

2. – целое число; интеграл рационализируется с помощью подстановки , где – знаменатель дроби ;

3. – целое число; подстановка , где – знаменатель дроби .