Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижения порядка

Дифференциальное уравнение

называется дифференциальным уравнением -го порядка.

Некоторые уравнения -го порядка интегрируется путем сведения к уравнению более низкого порядка. Рассмотрим некоторые из них.

1. Уравнение, содержащее независимую переменную и производную порядка :

.

Общее решение его находится путем последовательного -кратного интегрирования: .

2. Уравнение, не содержащее искомой функции:

, ,

то есть уравнение не содержит функцию и ее производные до -го порядка включительно. Делаем замену , которая позволяет понизить порядок данного уравнения на единиц. При этом получится уравнение . Проинтегрировав его, найдем общее решение , отсюда, . Путем -кратного интегрирования находим общее решение исходного уравнения.

3. Уравнение, не содержащее независимой переменной:

.

Можно понизить порядок данного уравнения на единицу с помощью подстановки . При этом принимается за переменную. Тогда , и т. д. Подставив эти производные в исходное уравнение, получим дифференциальное уравнение -го порядка на неизвестную функцию . Пусть решением полученного уравнения будет , следовательно, . Проинтегрировав последнее уравнение, найдем .

4. Уравнение в точных производных:

,

то есть левая часть данного уравнения может быть представлена в виде . Проинтегрировав его, мы получим новое уравнение -го порядка: .

5. Уравнение, однородное относительно функции и ее производных:

,

то есть справедливо равенство , .

Порядок уравнения в этом случае можно понизить на единицу с помощью подстановки , тогда , , …, . Здесь – новая неизвестная функция. Подставив все производные в исходное уравнение, получим уравнение -го порядка на функцию . Решив его, найдем , вернувшись к замене , получим , отсюда общее решение исходного уравнения имеет вид: .