Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы от тригонометрических функций во многих ситуациях удаётся рационализировать либо существенно упростить. Рассмотрим некоторые наиболее типичные случаи.

1. Интегралы вида , где – рациональная функция (функция с переменными и , над которыми выполняются рациональные действия – сложение, вычитание, умножение и деление), приводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью т. н. универсальной тригонометрической подстановки . При этом

,

т. е. .

Хотя универсальная подстановка позволяет найти любой интеграл вида , однако в большинстве случаев она приводит к чересчур громоздким вычислениям, и тогда удобнее пользоваться другими, более эффективными подстановками. Тем не менее, некоторые интегралы наиболее быстро считаются именно с помощью этой подстановки. В частности, это относится к интегралам вида , где или не равны нулю.

2. Интегралы вида , где – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью подстановки . При этом

,

т. е. .

3. Интегралы вида и , где – некоторая (не обязательно рациональная!) функция, вычисляются с помощью подстановок и соответственно. При этом

,

.

4. Интегралы вида .

Выделим здесь два важных случая.

а) Если среди и есть нечётное число, то интеграл приводится к одному из указанных в п. 3, например, если , то

.

б) Если оба числа и – чётные, то следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул

.

5. Интегралы типа , , вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

,

,

.