Несобственные интегралы

Несобственными называются интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода) и интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).

Несобственные интегралы 1-го рода определяются следующим образом:

; ;

,

где – произвольное число.

Эти интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы в правых частях равенств. Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то соответствующие интегралы называются расходящимися.

Несобственные интегралы 2-го рода определяются следующим образом:

, если функция имеет бесконечный разрыв при ;

, если функция имеет бесконечный разрыв при ;

, если функция имеет бесконечный разрыв в точке , .

Критерии сходимости формулируются для интегралов вида ; для других несобственных интегралов справедливы аналогичные утверждения.

1. Если на промежутке функции и удовлетворяют условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости – расходимость .

2. Если функции и неотрицательны и существует предел , , то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся.

В качестве функции сравнения в случае особенно удобно использовать функцию ( ), а в случае интеграла от неограниченной в окрестности точки функции – функцию . Можно показать (см. лекции!), что интеграл сходится при и расходится при , а интеграл (как и интеграл ) сходится при и расходится при .