Примеры решения задач

1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Это уравнение вида . После первого интегрирования получим . Проинтегрировав второй раз, получим общее решение .

2. Найти частное решение дифференциального уравнения

, , , .

Решение. Проинтегрировав уравнение , получим

, ,

отсюда общее решение

.

С учетом начального условия имеем , то есть . Использование условия дает , отсюда . И, наконец, с помощью третьего начального условия найдем . Следовательно, частное решение таково: .

3. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Решив это уравнение относительно , как обычное квадратное уравнение, найдем и . Решив их, получим

, .

Тогда общее решение можно записать в виде общего интеграла

.

4. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Это уравнение, неразрешимое относительно . Сделав замену , получим

,

отсюда . Так как , то , . Тогда . Проинтегрировав полученный интеграл, найдем

.

Так как , то . Отсюда

.

Раскрыв скобки и проинтегрировав все интегралы, получим

.

Последнее равенство вместе с равенством дает параметрическое решение заданного уравнения.

5. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Сделав замену , получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

,

отсюда имеем , или . Интегрируя, найдем

, или ,

следовательно, , или . Проинтегрировав, получим общее решение заданного уравнения: .

6. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. После подстановки и получим , разделив переменные, найдем . Вычислив интегралы, после преобразований имеем , или . Это уравнение с разделяющимися переменными, которое интегрируется следующим образом: , , в итоге или, возведя обе части в квадрат, получим общее решение в виде общего интеграла: .

7. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Это уравнение в точных производных. Поделим обе части на функцию : , отсюда . Проинтегрировав, находим , или . Интегрируя еще раз, получим общее решение

.

8. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Это уравнение однородное относительно функции и ее производных. Сделав замену , после несложных преобразований найдем уравнение первого порядка на функцию :

, или .

Это линейное уравнение, решив его методом вариации постоянной или методом подстановки, получим . Вернувшись к функции , получим уравнение: , которое после интегрирования дает общее решение исходного уравнения .