Примеры решения задач

1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми , , .

Решение.

Фигура имеет вид, представленный на рис.1. Её площадь определяется по формуле (1):

.

Рис. 1. Рис. 2.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение.

Найдём абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений

,

из которой находим: . Искомую площадь (см. рис. 2) определяем по формуле (2):

.

3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды (рис. 3) с уравнением , и осью .

Решение.

Здесь , а изменяется от до . Следовательно, по формуле (3)

.

Рис. 3. Рис. 4.

4. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой .

Решение.

Четвёртой части искомой площади (рис. 4) соответствует изменение от 0 до . По формуле (4) находим:

.

5. Вычислить длину дуги полукубической параболы ( ) от точки с абсциссой до точки .

Решение.

Здесь . Тогда . Тогда по формуле (5)

.

Рис. 5. Рис. 6. Рис. 7.

6. Найти длину астроиды: .

Решение.

, . Тогда

.

Теперь по формуле (6) с учётом симметрии линии (рис. 6) находим

.

7. Найти длину кардиоиды: .

Решение.

Сначала найдём половину длины кривой, изображённой на рис. 7, по формуле (7), учитывая, что :

.

Значит, .

8. Найти объём эллипсоида .

Решение.

Рассекая эллипсоид (рис. 8) плоскостью, параллельной плоскости на расстоянии от неё ( ), в сечении получим эллипс с уравнением

или .

Площадь этого эллипса равна . Поэтому, по формуле (8), имеем

.

Рис. 8. Рис. 9.

9. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , , , , вокруг оси .

Решение.

Для тела, изображённого на рис. 9, находим:

.

Задачи для самостоятельного решения

Найти площади фигур, ограниченных линиями:

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

5. . Ответ: .

6. Эллипсом . Ответ: .

7. Астроидой . Ответ: .

8. . Ответ: .

9. . Ответ: .

Найти длины дуг кривых:

1. от вершины до точки с . Ответ: .

2. до точки с абсциссой . Ответ: .

3. от до . Ответ: .

4. Одной арки циклоиды . Ответ: .

5. . Ответ: .

6. . Ответ: .

7. . Ответ: .

Вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями:

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

1. вокруг оси . Ответ: .

2. вокруг оси . Ответ: .

3. вокруг оси . Ответ: .

4. вокруг оси . Ответ: .

5. вокруг оси . Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9