Примеры решения задач
Найти , если
а) , и , ;
б) , где , .
Решение.
а) Здесь , , , . Тогда по формуле (1) находим:
.
б) В этом примере подстановка и в упрощает функцию : . Очевидно, .
Найти и для функции , где .
Решение.
Имеем: . Используя формулу полной производной (2), находим: .
Найти и , если , , .
Решение.
Используем формулы (3), учитывая, что здесь независимыми являются переменные и :
;
.
Найти производную неявной функции, заданной уравнением .
Решение.
Здесь . Имеем:
, .
Следовательно, .
Найти производные и неявной функции, заданной уравнением .
Решение.
Здесь . Имеем: , , откуда .
Найдём вторую производную: .
Найти производные и неявной функции, заданной уравнением .
Решение.
Здесь . Находим: , , . Тогда
; .
Найти дифференциал неявной функции, заданной уравнением .
Решение.
Здесь . Как известно, , поэтому найдём сначала и :
; .
Следовательно, .
Дана поверхность . Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке .
Решение.
Найдём частные производные и , и их значения в точке : , . Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь вид: или .
Уравнение нормали: .
К поверхности провести касательные плоскости, параллельные плоскости .
Решение.
Здесь . Найдём частные производные: , , . Из условия параллельности касательной плоскости и данной плоскости следует, что , или . Присоединив к этим уравнениям уравнение поверхности , найдём координаты точек касания: и . Следовательно, уравнения касательных плоскостей имеют вид:
,
т. е. и .
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти , если :
а) . Ответ:
б) . Ответ: .
2. Найти и :
а) , где .
Ответ: .
б) , где .
Ответ: .
3. Для данных найти , и :
а) , где .
Ответ: .
б) , где .
Ответ: .
в) , где
Ответ: .
4. Найти производные неявных функций, заданных уравнениями:
а) . Ответ: .
б) . Ответ: .
5. Найти производные и для неявных функций , определяемых следующими уравнениями:
а) . Ответ: .
б) . Ответ: .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:
а) в точке .
Ответ: .
б) в точке .
Ответ: .
в) в точке .
Ответ: .
7. Составить уравнения касательных плоскостей к поверхности , параллельных плоскости .
Ответ: .
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Непосредственное интегрирование
- Примеры решения задач
- Метод замены переменной и формула интегрирования по частям
- Примеры решения задач
- Интегрирование рациональных дробей
- Примеры решения задач
- Интегрирование тригонометрических функций
- Примеры решения задач
- Интегрирование иррациональных функций
- Примеры решения задач
- Определённый интеграл
- Примеры решения задач
- Несобственные интегралы
- Примеры решения задач
- Приложения определённого интеграла
- Примеры решения задач
- Частные производные первого и высшего порядков. Дифференциал функции нескольких переменных.
- Примеры решения задач
- Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- Примеры решения задач
- Экстремум функции двух переменных
- Примеры решения задач
- Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные и сводящиеся к однородным уравнения
- Примеры решения задач
- Задачи для самостоятельного решения
- Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах
- Примеры решения задач
- Задачи для самостоятельного решения
- Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижения порядка
- Примеры решения задач
- Задачи для самостоятельного решения
- Линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами, метод вариации постоянной
- Примеры решения задач
- Задачи для самостоятельного решения
- Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида
- Примеры решения задач
- Задачи для самостоятельного решения