Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена ; в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

I. ;

II. , где – целое число, большее единицы;

III. , где , т. е. квадратный трёхчлен в знаменателе не имеет действительных корней;

IV. , где – целое число, большее единицы и квадратный трёхчлен в знаменателе не имеет действительных корней;

Во всех четырёх случаях предполагается, что – действительные числа.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей:

I. ;

II. ;

III. Выделяем полный квадрат в знаменателе и делаем соответствующую подстановку:

(здесь ).

IV. Аналогично,

Здесь , а интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы

,

позволяющей после - кратного применения свести данный интеграл к табличному .

В общем случае, перед интегрированием рациональной дроби надо выполнить следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из неё целую часть, т. е. представить в виде

,

где – многочлен, а – правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

,

где , т. е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

;

4) вычислить неопределённые коэффициенты , , для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.

В результате интегрирование рациональной дроби сведётся к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.