Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

.

Если правая часть уравнения равна нулю, то это уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Рассмотрим два метода интегрирования данного уравнения.

Метод вариации постоянной. Находим общее решение однородного уравнения . Затем предполагаем, что является функцией от переменной , и ищем решение неоднородного уравнения в виде . Подставив его в неоднородное уравнение, после некоторых преобразований, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными на неизвестную функцию : . Его решением является , где – произвольное постоянное число. Общее решение линейного уравнения запишется в виде

.

Метод подстановки (метод Бернулли). Общее решение неоднородного линейного уравнения ищем в виде , тогда . Подставив в уравнение, получим , или . Далее, пусть функция удовлетворяет уравнению , тогда . Находим любое частное решение уравнения , например, . Тогда общим решением уравнения будет , где – произвольное постоянное число. Общее решение линейного уравнения имеет вид:

.

Уравнение вида

,

называется уравнением Бернулли. Если обе его части разделить на функцию и сделать замену , то получим линейное уравнение на неизвестную функцию . Также уравнение Бернулли можно решать методом подстановки.

Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции , то есть это уравнение можно переписать в виде . Отсюда общий интеграл будет . Для того чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение условия . Общий интеграл рассматриваемого уравнения имеет вид

,

где , область определения функций .

Рассмотрим еще один способ нахождения общего решения уравнения в полных дифференциалах. Так как с одной стороны , а с другой стороны , то отсюда следует, что функция удовлетворяет условиям: , .