Примеры решения задач

1. Найти интеграл .

Решение:

Квадратный трёхчлен в знаменателе не имеет действительных корней, поэтому данная дробь – простейшая третьего типа.

.

2. Найти интеграл .

Решение.

Квадратный трёхчлен в знаменателе не имеет действительных корней, поэтому данная дробь – простейшая четвёртого типа.

Интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы при , :

Возвращаясь к переменной , находим окончательно:

3. Вычислить интегралы: а) ; б) ; в)  .

Решение.

а) Подынтегральная дробь – правильная. Разложив на множители знаменатель, представим её в виде суммы простейших дробей 1-го типа:

.

Приведём дроби в правой части равенства к общему знаменателю, откуда

,

т. е.

. (1)

Из полученного равенства можно найти коэффициенты и двумя способами: с помощью метода сравнивания коэффициентов или метода частных значений. Рассмотрим оба способа.

1. Метод сравнивания коэффициентов. Раскроем скобки в правой части равенства (1) и сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

.

Так как многочлены в обеих частях полученного равенства тождественно равны, то у них должны быть равны и коэффициенты при соответствующих степенях переменной . Сравнивая коэффициенты, получаем систему двух уравнений:

.

Решая эту систему, найдём: .

2. Метод частных значений. Придадим неизвестной в равенстве (1) частное значение . Тогда получим

,

откуда . Подставляя теперь в уравнение (1) значение (удобнее всего подставлять значения, совпадающие с действительными корнями знаменателя подынтегральной дроби), получим: .

Таким образом,

и, значит,

б) Подынтегральная дробь – правильная, однако, её знаменатель не до конца разложен на множители. Поэтому сначала преобразуем знаменатель:

.

Разложим теперь дробь на простейшие:

.

Приводя к общему знаменателю и избавляясь затем от знаменателей, приходим к равенству:

.

Для вычисления неизвестных коэффициентов , и воспользуемся методом частных значений. Положим , тогда . Полагая , находим .

Осталось найти коэффициент . Поскольку «удобных» частных значений уже не осталось, придадим какое-нибудь значение, приводящее к не очень громоздким вычислениям. Проще всего положить . Тогда , откуда, с учётом найденных значений и , получим: .

Итак,

,

т. е. окончательно

.

в) Данная подынтегральная дробь – неправильная, поэтому сначала выделим целую часть, поделив числитель на знаменатель «столбиком»:

т. е.

.

Отсюда

Разложив на множители знаменатель полученной правильной дроби, представим её в виде суммы простейших:

.

Избавляясь от знаменателей, получим:

Воспользуемся методом сравнивания коэффициентов. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные:

.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при , и в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений

,

из которой находим: .

Таким образом,

,

откуда

Возвращаясь к исходному интегралу, получим окончательный ответ:

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Ответ: .

2. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ: .

12. Ответ: .

13. Ответ:

.

14. Ответ:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4