Линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами, метод вариации постоянной

Линейное однородное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

,

где вещественные постоянные числа. Общим решением уравнения будет , где произвольные постоянные числа. Для нахождения линейно независимых частных решений рассматриваемого уравнения используется метод Эйлера. Для этого составляем уравнение , которое называется характеристическим. Решив его, получим четыре случая.

1) Корни вещественные, не равные друг другу числа. Тогда , ,..., .

2) Корни не равны между собой, но среди них есть комплексно сопряженные корни. Каждой паре соответствуют два частных решения , .

3) Корни все вещественные, но среди них некоторые совпадают, например, (в этом случае говорят, что корень имеет кратность ). Совпадающим корням соответствуют следующие частные решения: .

4) Корни содержат равных комплексно сопряженных пар , тогда им соответствуют частных решения:

,

.

Линейное неоднородное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

,

где вещественные постоянные числа. Общим решением данного уравнения является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения: . Для нахождения частного решения можно воспользоваться методом Лагранжа (метод вариации постоянной). Для этого вначале находят общее решение соответствующего однородного уравнения: . Затем предполагают, что являются функциями от , и ищут общее решение неоднородного уравнения в виде , где производные неизвестных функций находят из системы уравнений

Решив систему, мы найдем . Проинтегрировав последние уравнения, определим неизвестные функции , тем самым найдем общее решение линейного неоднородного уравнения.