Примеры решения задач

1. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Составим характеристическое уравнение , его корни , отсюда фундаментальная система решений , . Следовательно, общее решение имеет вид: .

2. Найти частное решение уравнения

, .

Решение. Найдем вначале общее решение, для этого составим характеристическое уравнение , его корни , отсюда фундаментальная система решений , . Следовательно, общее решение имеет вид: .

Теперь определим произвольные постоянные по заданным начальным условиям. Найдем производную . Подставив начальные условия в и , получим систему уравнений

решением которой является . Подставив найденные значения постоянных в общее решение, найдем частное решение: .

3. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение можно разложить так:

.

Найдем корни . Первому корню соответствует частное решение . Второй корень двукратный, то есть кратности 2, поэтому ему соответствуют два частных решения: .

Таким образом, общее решение исходного уравнения:

.

4. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение поделим уголком на , получим . Следовательно, уравнение

,

имеет корни . Первому вещественному корню соответствует частное решение , а паре комплексно сопряженных корней частные решения . Общее решение запишется в виде: .

5. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение разложим на множители

и найдем корни . Первые два вещественных корня совпадают, их частные решения имею вид . Следующие корни комплексно сопряженные, причем их реальная часть , отсюда их частные решения . Таким образом, имеем общее решение заданного уравнения: .

6. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение , которое можно переписать в виде имеет две равные комплексно-сопряженные пары корней . Тогда, получим четыре частных решения:

.

Отсюда, общее решение запишется как

7. Найти частное решение уравнения

, , .

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни , следовательно, общее решение однородного уравнения: .

Ищем решение неоднородного уравнения в виде

.

Уравнения на неизвестные функции следующие:

,

.

Выразив из первого уравнения и подставив во второе, после несложных преобразований найдем tg x. Подставив найденное в первое уравнение и выразив оттуда , определим . После интегрирования найдем

, ,

где произвольные постоянные числа. Запишем общее решение заданного неоднородного уравнения:

.

Применив начальное условие , получим

,

отсюда . Вычислив производную

,

с учетом второго условия найдем

,

отсюда . Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид: .

8. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни , следовательно, общее решение однородного уравнения: .

Ищем решение неоднородного уравнения в виде

.

Система на функции имеет вид:

Определитель этой системы не равен нулю. Решив методом Крамера, найдем

.

Интегрируя последние равенства, получим

,

,

,

где произвольные постоянные.

Итак, общее решение исходного неоднородного уравнения:

.