Приложения определённого интеграла

1). Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью , прямыми и вычисляется по формуле . Если криволинейная трапеция расположена ниже оси ( ), то её площадь определяется так: .Эти формулы можно объединить в одну:

. (1)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , прямыми и при условии можно найти следующим образом:

. (2)

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми , и осью , выражается формулой

, (3)

где и определяются из равенств и [ при ].

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя лучами , ( ), вычисляется по формуле

. (4)

2). Вычисление длины дуги кривой.

Длина кривой, являющейся графиком непрерывно дифференцируемой функции , где , вычисляется по формуле:

. (5)

При параметрическом задании кривой , [ и – непрерывно дифференцируемые функции], где , длина дуги находится по формуле

. (6)

Если кривая задана уравнением , в полярных координатах, то длина дуги равна

. (7)

3). Вычисление объёма тела.

Объём тела, площади сечений которого плоскостями, перпендикулярными оси известны ( ), вычисляется по формуле:

. (8)

Если вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком и прямыми и , то объём тела вращения равен .