Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида

Напомним, что линейное неоднородное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

,

где коэффициенты вещественные постоянные числа.

Общим решением такого уравнения является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения: . Иногда частное решение удается найти в зависимости от правой части неоднородного уравнения, то есть от вида функции . Рассмотрим разные случаи.

1) Если полином -ой степени, и число нуль не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, то частное решение ищем в виде , где полином -ой степени, но с неопределенными коэффициентами. Для нахождения неизвестных коэффициентов надо воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Если нуль является корнем характеристического уравнения кратности , тогда частное решение ищем в виде .

2) Если и число не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, то частное решение ищем в виде . Здесь полином с неопределенными коэффициентами, причем той же степени, что и полином . Если является корнем характеристического уравнения кратности , тогда частное решение ищем в виде .

3) Если , где полиномы, их степени могут не совпадать, и комплексное число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде , здесь степень полиномов с неопределенными коэффициентами совпадает с наибольшей степенью полиномов . Если комплексное число является корнем характеристического уравнения кратности , то частное решение ищем в виде .