12. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области D задана функция z=z(x,y), имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в области Dфункция z(x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений.

Без доказательства.

Можно предложить следующий план нахождения M и m.

1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.

2. Находим стационарные точки внутри D.

3. Находим стационарные точки на каждой из границ.

4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.

Пример 1.14 Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D, ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

Решение

1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскости Оху.

Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0).

Граница Г области D состоит из трёх частей:

2. Найдём стационарные точки внутри области D:

3. Стационарные точки на границах l1, l2, l3: