2. Примеры дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка

В разделе "Примеры математических моделей, содержащих дифференциальные уравнения в частных производных" мы рассматривали математическую модель трубчатого реактора, в котором протекает простая необратимая реакция. Баланс по концентрации исходного реагента для нестационарного режима имеет вид:

где k - константа скорости химической реакции; с - концентрация исходного реагента; v - линейная скорость потока; х - координата по длине реактора.

Данное уравнение является одномерным дифференциальным уравнением в частных производных 1-го порядка (см. таблицу в разделе "Типы дифференциальных уравнений, изучаемых в курсе").

Рассмотрим другой пример. Математическая модель процессов массовой кристаллизации включает уравнение баланса числа частиц, имеющее вид:

где f - функция плотности распределения кристаллов по размерам; l - размер кристалла; - скорость роста кристалла; i - скорость образования зародышей; lЗ - размер зародыша.

Данное уравнение также является одномерным дифференциальным уравнением в частных производных 1-го порядка.

Таким образом, дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка часто встречаются в математических моделях физико-химических и химико-технологических процессов, что обуславливает необходимость знания методик численного решения этих уравнений. Для простоты дальнейшего изложения мы будем рассматривать одномерные дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка в следующем общем виде:

причём параметр v может быть как положительным, так и отрицательным, но не равным нулю (поскольку при v = 0 уравнение (5.1) будет уже являться обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка; методы решения этих уравнений будут рассмотрены в главе 12).

Уравнение (5.1) следует дополнить начальным и граничным условиями:

Каким должно быть данное граничное условие - левым или правым, мы сможем выяснить, только зная методику численного решения уравнения (5.1). Также отметим, что при постановке дифференциальной задачи порядок уравнений, описывающих граничные условия, должен быть ниже порядка самого дифференциального уравнения. Поэтому при описании методов численного решения уравнения (5.1) мы будем рассматривать только граничные условия 1-го рода.