20. Приближённое вычисление определённых интегралов

Рассмотрим задачу о приближённом нахождении значения определённого интеграла

Относительно подынтегральной функции мы будем предполагать, что она непрерывна на отрезке интегрирования, а также, когда это понадобится, что она имеет на этом отрезке производные до некоторого порядка.

Вычислять значение интеграла мы будем по значениям функции в некоторых точках отрезка . Эти значения мы будем предполагать известными, то есть предполагать, что у нас есть некоторый эффективный способ вычисления значений функции с любой требуемой точностью. Формулы, позволяющие по известным значениям приближённо определить значение , называются квадратурными формулами.

Для наглядности мы будем прибегать к геометрической интерпретации смысла определённого интеграла, как площади некоторой криволинейной трапеции, в случае функции . Следует, однако, иметь в виду, что квадратурные формулы, которые мы будем получать, имеют смысл для функций, принимающих значения произвольного знака.

При вычислить интеграл значит найти площадь под графиком , расположенную над отрезком . Естественной идеей является следующее построение: разобьём отрезок на части точками деления и положим и (см. определение значения определённого интеграла). Тогда разбиение отрезка состоит из отрезков при . Вместо площади под графиком, равной , будем приближённо находить суммарную площадь узких полосок, лежащих над отрезками разбиения (см. рис.).

Рис.5.1.

21. –