9.1Дифференцирование неявной функции

Функция z = ƒ (х; у) называется неявной, если она задается уравнением

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию ƒ (х; у), получим тождество F(x;у;ƒ (х; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

Замечания.

а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х2+у2+z2-4=0 определяет функции определенные в круге х2+у2≤4 , определенную в полукруге х2+у2 ≤ 4 при у≥ 0 и т. д., а уравнение cos(x + 2у +3z)- 4 = 0 не определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x; у; z) и ее производные F'x(x; у; z), F'y(x; у; z), F'z(x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки M0(x0;y0;z0), причем F(x0;y0;z0)=0, а F'z(x0;y0;z0)≠0, то существует окрестность точки М0, в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z=ƒ(х;у), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (х0;у0) и такую, что ƒ(х0;у0)=z0.

б) Неявная функция у=ƒ(х) одной переменной задается уравнением F(x;у)=0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

Пример 44.6. Найти частные производные функции z, заданной уравнением ez+z-х2у+1=0.

Решение: Здесь F(x;y;z)=ez+z-х2у+1, F'x=-2ху, F'y = -х2, F'z=ez+1. По формулам (44.12) имеем:

Пример 44.7. Найти если неявная функция у=ƒ(х) задана уравнением у3+2у=2х.

Решение: Здесь F(x;у) = у3+2у-2х, F'x=-2, F'y = 3у2+2. Следовательно,