25. Геометрическое и механическое приложения определенного интеграла

Если на отрезке [a,b] задана функция f(x)≥0, то, как известно из определения определенного интеграла, он определяет площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), осью ОХ и прямыми x=a, x=b; т.е.

Если же функция f(x)≤0 на интервале [a, b], то и определенный интеграл также ≤0. Но по абсолютной величине определенный интеграл равен площади S соответствующей криволинейной трапеции

Если функция y=f(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a,b], то интеграл по всему отрезку [a,b] разбиваем по частичным отрезкам.

Интеграл будет положителен на тех отрезках, где f(x) , и отрицателен там где f(x) . Таким образом, интеграл по всему отрезку даст разность площадей, лежащих выше и ниже оси ОХ.

Для того, чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно найти сумму абсолютных величин интегралов по указанным выше отрезкам и вычислить интеграл.

Пример 1.

Вычислить площадь S, ограниченную синусоидой y=sinx и осью ОХ, при 0 .

Решение:

т.к. sinx , при 0 и sinx при , то имеем

Следовательно, кв.ед.

Если нужно вычислить площадь, ограниченную кривыми y=f1(x) и y=f2(x) и ординатами x=a и х=b, при условии, что f1(x) f2(x) будем, очевидно, иметь.