11. Достаточное условие экстремума

Теорема. Пусть функция f (x) непрерывна в некотором интервале, содержащую точку экстремума х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала кроме, быть может самой точки х1. Если при переходе слева направо через эту точку х1 производная меняет знак с плюса на минус, то при х = х1 функция имеет локальный максимум. Если же при переходе слева направо через эту точку х1 производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке локальный минимум.

Комментарий. Если в достаточно малой окрестности точки х1 справедливо f ' (x) > 0 при х < x1, f ' (x) < 0 при х > x1, то в точке х1 функция имеет максимум; если f ' (x) < 0 при х < x1, f ' (x) > 0 при х > x1, то в точке х1 функция имеет минимум.

Доказательство. Пусть при переходе слева направо через эту точку х1 производная меняет знак с плюса на минус, то есть для всех х, достаточно близких к х1, имеем f ' (x) > 0 при х < x1, f ' (x) < 0 при х > x1. Применяя теорему Лагранжа к разности f (x) − f ( x1), получим

f ( x ) − f ( x1 ) = f ' ( c )·( x − x1 ).

где с лежит между точками х и х1. По условию теоремы

sign f ' ( c ) = − sign ( x − x1 ),

поэтому в произвольно малой окрестности точки х1 имеем

f ( x ) < f ( x1 ).

В этом случае точка х1 есть точка локального максимума, что и требовалось доказать.