8. Разложение дроби на простейшие.

Для начала разберем теорию, далее решим парочку примеров для закрепления материала по разложению дробно рациональной функции на сумму простейших дробей. Подробно остановимся на методе неопределенных коэффициентов и методе частных значений, а также на их комбинации.

Простейшие дроби часто называют элементарыми дробями.

Различают следующие виды простейших дробей:

1.

2.

3.

4.

где A, M, N, a, p, q – числа, а дискриминант знаменателя в дробях 3) и 4) меньше нуля.

Называют их соответственно дробями первого, второго, третьего и четвертого типов.

Для чего вообще дробь раскладывать на простейшие?

Приведем математическую аналогию. Часто приходится заниматься упрощением вида выражения, чтобы можно было проводить какие-то действия с ним. Так вот, представление дробно рациональной функции в виде суммы простейших дробей примерно то же самое. Применяется для разложения функций в степенные ряды, ряды Лорана и, конечно же, для нахождения интегралов.

К примеру, требуетя взять интеграл от дробно рациональной функции . После разложения подынтегральной функции на простейшие дроби, все сводится к достаточно простым интегралам

Но об интегралах в другом разделе.

Пример.

Разложить дробь на простейшие.

Решение.

Вообще отношение многочленов раскладывают на простейшие дроби, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае сначала проводят деление многочлена числителя на многочлен знаменателя, а уже затем проводят разложение правильной дробно рациональной функции.

Выполним деление столбиком (уголком):

Следовательно, исходная дробь примет вид:

Таким образом, на простейшие дроби будем раскладывать